DIALOGStředoevropská knihovnička

Neúplnost

Kniha Rebeccy Goldsteinové Neúplnost víceméně populárně analyzuje život a nejvýznamější dílo Kurta Gödela. Brněnský rodák, vídeňský student, princetonský badatel, Einsteinův přítel a nakonec paranoidní sušinka přinesl jeden z nejpozoruhodnějších objevů 20. století, a to matematický důkaz limitů matematického poznání.

Pro Kurta Gödela není možné matematiku redukovat na formalismus

Foto: archiv

Pro tyto tzv. věty o neúplnosti a další logické práce je některými považován za největšího logika od Aristotela (matematická logika mu vděčí mj. za důkaz slučitelnosti axiomu výběru a hypotézy kontinua se standardní teorií množin, příspěvky k teorii důkazu atd.). Intelektuální kuriozitou je jeho dárek Einsteinovi k narozeninám, který přináší nečekané hladké řešení rovnic Einsteinovy obecné relativity, které přináší uzavřené časové smyčky – Gödel si ke stáru toto řešení spojoval s možností osobní nesmrtelnosti. Ještě větší hříčkou je jeho ontologický důkaz – exaktní a propracovaná verze Anselmova a Leibnizova důkazu boží existence, která využívá modální logiky a vejde se na jednu stránku A4.

Brněnský Rakušák Gödel

Kurt Gödel se narodil 28. dubna 1906 v Brně. Kromě několikaletého občanství Československa ho však s českými zeměmi nic nespojovalo – na škole se odmítal učit češtinu a cítil se jako v exilu (ein österreichischer Verbannter in Tschechoslowakien). Už v dětství se u něj projevovaly vlastnosti, které měly určit jeho budoucí život: říkalo se mu der Herr Warum a už v osmi letech se stal hypochondrem. V roce 1924 začal ve Vídni studovat fyziku, ale po dvou letech si změnil studijní obor na matematiku.

Jedna ze silných stránek knihy je právě popis intelektuální atmosféry přelomu dvacátých a třicátých let ve Vídni tvořené mnoha diskuzními kruhy. A v letech 1926-8 Gödel docházel do toho nejslavnějšího, pozitivistického Vídeňského kruhu vedeného filosofem Moritzem Schlickem a silně ovlivněného Ludwigem Wittgensteinem a jeho Traktátem. Může se to zdát paradoxní, ale tichý Gödel i charismatický Wittgenstein byli v opozici vůči vidění Kruhu i vůči sobě: Gödel vnitřně odmítal chápat matematiku syntakticky, zatímco Wittgenstein okázale dával najevo, že ho Kruh vůbec nechápe (ano, pro Wittgensteina „o čem nelze mluvit, o tom se musí mlčet“, ale to neznamená, že to neexistuje).

Gödel a Einstein v roce 1950 na procházce v Princetonu

Foto: Institute for Advanced Studies

Své revoluční dvě věty o neúplnosti Gödel prezentoval v letech 1930-1 tak neokázale, že si jich nejprve takřka nikdo nevšiml. Na podnět věhlasného původně maďarského génia von Neumanna (viz rubrika Osobnost) byl ve 30. letech zván do USA. Gödel, odmítající se protivit autoritě, ještě po anschlussu Rakouska setrvával ve Vídni, ačkoli byl režimu kvůli stykům s mnoha Židy značně nepohodlný. Teprve v roce 1940 se se ženou Adele dostal přes Sibiř do USA, kde po zbytek života zakotvil na Institutu pro pokročilá studia v Princetonu. Popis princetonské atmosféry tvoří druhou silnou stránku knihy. Zde vzniklo jejich slavné přátelství s Albertem Einsteinem, zde publikoval zmíněné další příspěvky k logice i obě hříčky. Další hříčku prý objevil v roce 1947, kdy měl získat americké občanství, a k tomu se váže jeho nejslavnější příhoda. Se svou poslušností vůči autoritám velice pečlivě studoval americkou ústavu a tvrdil, že v ní objevil rozpor, kvůli kterému by se mohlo stát, že by se demokracie změnila v tyranii. Přes veškerou snahu Gödelových přátel Morgensterna a Einsteina se o tom k jejich zděšení zmínil soudci na zkoušce k přijetí občanství. Zázraky se dějí: Gödel přesto prošel.

Zvláště v posledních dvaceti letech svého života, po Einsteinově smrti, Gödel psychicky chřadl: trpěl silnou paranoiou. V zimě doma nechával otevřená okna, aby ho nikdo nemohl otrávit plynem, nevěřil lékařům, jedl pouze jídlo připravané svou manželkou. V roce 1977 pak Adele onemocněla a nemohla nadále vařit. Gödel tedy hladověl a 14. ledna 1978 nakonec na následky podvýživy zemřel. Vážil 30 kilogramů.

Věty o neúplnosti

Co tedy tvrdí první věta o neúplnosti? Že existují aritmetické výroky, které jsou sice pravdivé, ale nejsou dokazatelné. To je asi potřeba blíže vysvětlit: pravdivý aritmetický výrok je např. „1+8=9“ nebo „každé prvočíslo tvaru 4k+1 je součtem dvou celých druhých mocnin“ nebo také velká Fermatova věta. Všechny tyto věty jsou ovšem také dokazatelné z axiomů, tj. standardního systému jednoduchých formálních výroků (trivialit jako je „pro každé přirozené číslo existuje číslo následující“) za použití odvozovacích pravidel logiky. Podle první Gödelovy věty však existují i takto formálně nedokazatelná tvrzení, která jsou ovšem pravdivá. Původní Gödelův důkaz zabírá něco přes 20 stran textu, ale jeho myšlenka je jednoduchá – využívá struktury autoreferenčních paradoxů typu „tato věta je nepravdivá“ (je-li pravdivá, tak je nepravdivá, a je-li nepravdivá, tak je pravdivá...), v tomto případě věty „tato věta je nedokazatelná“. Gödel nejprve předvede způsob, jak každému formálnímu výroku přiřadit unikátní číslo, dnes zvané Gödelovo číslo. Dále, podobně jako řekněme vlastnost „být liché číslo“, existuje vlastnost „nebýt Gödelovým číslem dokazatelného výroku“. Dosadíme-li do takové vlastnosti konkrétní číslo (n), dostaneme konkrétní výrok, kterému v Gödelově číslování odpovídá nějaké další číslo m. Gödelovi se podařilo dokázat, že dosazované číslo n lze zvolit tak, že výsledek m je opět původní číslo n. To ovšem znamená, že toto číslo n jednak není Gödelovým číslem dokazatelného výroku, a jednak je Gödelovým číslem výroku, který právě tuto skutečnost tvrdí. Výrok příslušný číslu n je tedy jednak nedokazatelný a jednak – právě proto – pravdivý.

Druhá věta o neúplnosti se týká pojmu konzistence. Formální systém se nazývá konzistentní, pokud z něj není možné vyvodit spor. Takže systém dvou výroků „prší“, „je teplo“ konzistentní je, zatímco „prší“, „neprší“ není. Druhá věta o neúplnosti pak říká, že libovolný konzistentní formální systém výroků, který obsahuje aritmetiku, není schopen sám o sobě dokázat vlastní konzistenci. Tedy například z axiomů matematiky nebude nikdy možné formálně dokázat, že jsou tyto axiomy bezesporné. Tato druhá věta poměrně jednoduše plyne z první věty o neúplnosti.

Co to vlastně znamená

V Gödelově důkazu boží existence není písmeno G iniciála autora, ale zkratka slova „godlike“

Foto: archiv

Jak píše Rebecca Goldsteinová, věty o neúplnosti jsou "matematické věty s metamatematickými důsledky". Matematické poznání postupuje tak, že staví složitější pojmy na pojmech jednodušších. Například trojúhelník se možné definovat jako plochu mezi třemi úsečkami jistých vlastností, úsečky jako spojnici dvou bodů. Redukovat jistě nelze za jisté meze: o elementárních pojmech (jako je patrně právě bod) nelze diskutovat matematicky, ale jen metamatematicky. Slovo „metamatematický“ se tedy týká intuice, na které stojí matematika. Celý Gödelův důkaz je pak jakousi ekvilibristikou mezi jazykem matematiky a metajazykem metamatematiky.

Gödelovy věty o neúplnosti se někdy považují spolu s kvantovou fyzikou a Einsteinovou teorií relativity za trojici revolucí v exaktních vědách, které ve 20. století zcela změnily náhled na povahu přírody. Jsou-li Gödelovy objevy z této trojice známy nejméně, je tomu tak i kvůli tomu, že jejich interpretace není ani uzavřena jako u relativity ani aspoň ustálena jako u kvantové fyziky. Skutečně dodnes příliš nechápeme, co to ten Gödel vlastně objevil. Sám Gödel považoval neúplnost za jakési potvrzení svého platonického světonázoru: matematické objekty jako přirozená čísla existují nezávisle na naší vůli a první věta o neúplnosti znamená nemožnost formálního popsání těchto ideálních objektů. Podle postmodernizujících, nominalistických interpretací jsou naopak matematické objekty kulturním konstruktem a druhá věta o neúplnosti dokazuje, že si nikdy nemůžeme být jisti bezesporností aritmetiky. Zatímco tedy pro platonistu Gödela matematické poznání sice nelze axiomatizovat, redukovat na mechanická pravidla, ale nemůže obsahovat spor (protože má model v jistých existujících ideálních objektech), tak podle postmoderních sofistů vycházejících například z pozitivismu se může třeba příští týden v úterý stát, že kdosi objeví spor v matematice. A veškeré „exaktní“ poznání se zhroutí. Není divu, že takový Ludwig Wittgenstein, „filosof smyslu jazyka“, Gödelovy objevy zcela odmítal přijmout a vyjadřoval se, že znamenají něco zcela jiného, než se zdá, aniž to ovšem kdy dokázal upřesnit (viz jeho Poznámky k základům matematiky).

Ke knize

Obálka knihy Neúplnost

Repro: Argo/Dokořán

Kdyby si čtenář podle názvu pomyslel, že jde o nový román Milana Kundery, nebyl by zas tak daleko od pravdy. Rebecca Goldsteinová patrně zvolila název Neúplnost ze dvou důvodů: ústředním tématem jsou nejen Gödelovy věty o neúplnosti, ale také sám Gödel a jeho osobní „neúplnost“. Obě témata jsou dost nerovnocenná – zatímco do příjemného povídání o životě génia se s chutí začte každý, do obtížnějších abstraktních pasáží je těžké proniknout už kvůli často zmatenému výkladu. Autorka totiž například předbíhá – před rozborem vlivu a důsledků Gödelových vět by stálo za to předběžně vysvětlit, o co v těch větách vlastně jde. Kromě toho jsou pasáže o Gödelově životě a o Gödelově díle jaksi nelogicky promíchány, takže nahlédnutí do obsahu je čtenáři pro orientaci zhola zbytečné. Goldsteinová také až příliš zjednodušuje Gödelovo vidění světa na „čistý platonismus“, ačkoli se jeho názor vyvíjel a minimálně v době jeho působení ve Vídni nebyl ustálen na ryzí opozici k vídeňskému kruhu. Překlad Martina Weisse je přes několik chybiček psán pěkným přirozeným jazykem; sama nakladatelství Argo a Dokořán zaslouží pochvalu za nápad vydat knihu ke 100. výročí Gödelova narození.

Jan Vršovský

Rebecca Goldsteinová, Neúplnost. Důkaz a paradox Kurta Gödela. Z anglického originálu Incompleteness. The Proof and Paradox of Kurt Gödel přeložil Martin Weiss. Vydala nakladatelství Argo a Dokořán v řadě Velké objevy, Praha 2006, 272 stran, doporučená cena 298 Kč, ISBN 80-7363-057-5, 80-7203-766-8.

Rebecca Goldsteinová

Foto: archiv

O autorce: Rebecca Goldsteinová je profesorkou filozofie. V současné době přednáší na Trinity College v Hartfordu. Kromě řady odborných publikací napsala i knihy The Mind-Body Problem (Problém mysli a těla), Properties of Light (Vlastnosti světla) a Strange Attractors (Podivné atraktory). Za své dílo i za vědeckou a pedagogickou činnost získala řadu ocenění, mimo jiné i prestižení cenu MacArthurovy nadace.