Téma... Krása v matematice?

Umění není žádná věda a matematika není žádný kumšt?

Na první pohled se zdá, že jen máloco je od sebe tak vzdálené jako matematika a umění. Po bližším prozkoumání se však ukazuje, že to není tak docela pravda.

I umění uplatňuje cosi jako kritérium pravdy

První mýtický rozdíl mezi matematikou a uměním je zhruba řečeno to, že zatímco matematika se řídí kritériem pravdivosti, tak umění uplatňuje estetická kritéria. Co však v matematice znamená "kritérium pravdy"? Jsou jednoduše dána jistá pravidla, která musí každá věta, důkaz, výpočet splňovat: věta musí být dokazatelná, důkaz je striktně definován jako posloupnost tvrzení, které lze dostat aplikací logických pravidel na předpoklady věty, při výpočtu neznámé z rovnice lze s rovnicí manipulovat pouze určitým způsobem. Pravda je tedy definována jistými pravidly. Ale umění se také obvykle řídí jistými pravidly: hudba není libovolná změť tónů, ale užívá dvanácti půltónů v oktávě, sochař formuje hmotu v trojrozměrném prostoru, malíř nanáší určité (očima vnímatelné) barvy na rovinné čtvercové plátno, spisovatel sestavuje lineárně uspořádanou posloupnost písmen, a to ještě ne libovolně, ale tak aby dávala v daném jazyce smysl. Každé umění má svá pravidla. Pravidla se samozřejmě porušují. Ale to se v matematice děje také, byť ve značně menší míře: mění se axiomatika, objevují se pokusy o alternativní logiku, alternativní teorii množin, nestandardní analýzu.

I matematika uplatňuje estetická kritéria

Je-li v umění obsažena obdoba matematického kritéria pravdy, je naopak v matematice přítomna estetika? Bezesporu. Žádný matematik se nesnaží nalézt jakékoli, libovolné pravdivé tvrzení, ale snaží se najít krásné pravdivé tvrzení, zajímavou otázku, vhodnou strukturu. Když nějaký matematik publikuje článek, který nesplňuje tato vlastně estetická kritéria, nikoho nezaujme a článek zapadne. Co pod tou krásou ti matematici ale míní? Odpověď není jednoduchá: jednak je vnímání krásy individuální a jednak to laikům zatím nikdo nedokázal uspokojivě vysvětlit; ale obecně jde o jakousi vnitřní harmonii, o jednoduchost a uzavřenost předpokladů, o bohatost důsledků.

I umění je nepřístupné mimo okruh "odborníků"

Z výše uvedeného plyne, že vnímání matematiky (a její estetiky) je omezeno na úzkou skupinu odborníků. Ovšem o umění se dá říct totéž: zanícený posluchač folku zřídka uzná krásu punku (a naopak), evropská civilizace teprve zpětně pochopila (jestli vůbec) kulturu a umění "divochů", laik těžko pozná odkazy skryté v moderním umění. Nikdo ovšem nemůže říct, že by rozuměl veškerému umění, stejně jako nikdo nerozumí veškeré matematice.

I dnešní matematik se musí snažit zaujmout

Pro umělce je takřka otázkou života a smrti dostat se do povědomí jak odborné, tak (pokud možno) laické veřejnosti. O umění, které nezaujme, ať je jakkoli hodnotné, se prostě nikdy nedovíme – nestane se součástí "kulturního dědictví". Podobně i vědec je nucen informovat ostatní o výsledcích své práce. V matematice je tento mechanismus tím výraznější, že (zvlášť dnešní) matematika je založená na spolupráci a kombinaci výsledků svých kolegů. Každý matematik stojí ne na ramenech několika obrů, ale na celé jejich pyramidě. Aby byly výsledky jednotlivce matematickou komunitou přijaty, musí mít celou řadu vlastností jako již zmíněná krása a elegance, aplikovatelnost. Kromě toho jako kdekoli jinde hrají roli i osobní sociální kontakty.

I matematika je závislá na kultuře

Ve vědeckofantastických představách probíhá první komunikace s mimozemšťany buď jazykem matematiky, nebo jazykem hudby. Jak na matematiku (jakožto nejabstraktnější vědu), tak na hudbu (jakožto nejabstraktnější formu umění) se tedy často hledí jako na univerzální jev, který nezávisí na kultuře, ale musí existovat stejně tak na Zemi jako na Aldebaranu. Konkrétní forma umění i matematiky se přitom zjevně mění s časem i místem. Současné umění je univerzální pouze v tom smyslu, že je postmoderní syntézou všech možných vlivů (včetně technologických) z mnoha lidských kultur, takže by bylo spekulací tvrdit, že Aldebaraňané si v galeriích prohlížejí impresionistické obrazy a provokativní videoinstalace (ačkoli spekulací je samozřejmě tvrdit i opak – že si takové umělecké formy v galeriích neprohlížejí).

Dnešní matematika vznikla podobně po syntéze (jak jinak?), byť v podstatě pouze tří proudů – řecké geometrie, logiky a indické aritmetiky, které tvoří základy zmíněné pyramidy obrů. Je tedy podobně spekulací tvrdit, že by Aldebaraňané museli svou matematiku založit na jakýchsi axiomech a logických pravidlech (natož ještě ekvivalentních těm našim), že z nich dokázali velkou Fermatovu větu a že tuto formulovali podobně jako my. Univerzálnost matematiky tedy znamená pouze to, že za předpokladu stejných axiomů a logických pravidel platí vždy stejné výsledky. Stejně, jako se kráva dá ztvárnit jak vyřezáním ze dřeva, tak akvarely (a nejspíš též po aldebaransku), dá se počasí matematicky předpovídat jak řešením diferenciálních rovnic, tak pomocí statistiky (a opět nejspíš též po aldebaransku).

Lze tedy snad položit rovnítko mezi umění a matematiku? To jistě ne. Výše uvedené argumenty nemají redukovat jednu oblast na druhou, ale pouze vyvrátit zažité mýty typu "matematika je ryze účelově racionální a kvantitativní" a "umění je ryze emocionální a kvalitativní". Nalezení společných prvků je pak totiž základem každého dialogu.

Jan Vršovský

Doporučujeme publikace:
Michele Emmer (editor): The Visual Mind: Art and Mathematics, MIT Press, 1994.
Michele Emmer (editor): The Visual Mind II, MIT Press, 2005.

Anketa: matematika a hudba

Několika matematikům, kteří se poměrně aktivně věnují hudbě, jsme položili tři otázky.

1. Je na vaší hudbě poznat, že jste matematik?

2. Naopak, je na vaší matematice poznat, že hrajete hudbu?

3. Kdybyste si mohl vybrat pouze jedno, vzal byste si s sebou na pustý ostrov hudební nástroj nebo papír a tužku na dělání matematiky?

Bernard Haak (odborný asistent na Univerzitě v Karlsruhe; kytarista)

1. Nevím o tom.

2. Nevím o tom.

3. Hudební nástroj! Papír se dost rychle zaplní nesmysly – a k čemu je vyšší matematika na pustém ostrově? Zkrátka v matematice jde o to důsledně přemýšlet, a to je na ní právě zajímavé.

Kdybych byl na ostrově, mohl bych se klidně zabývat filosofií nebo jinými záležitostmi, aniž by mi do jisté míry matematika chyběla. Hra na kytaru mě na druhou stranu činí šťastným na mnohem vyšší úrovni. Proto bych si vybrat hudební nástroj.

Michal Johanis (odborný asistent na KMA MFF UK; kytarista skupiny Overbridge)

1. Ne.

2. Ne.

3. Matematika se dá dělat v hlavě nebo čmárat do písku, takže určitě hudební nástroj.

Jan Malý (profesor na KMA MFF UK; multiinstrumentalista)

1. Pochybuji. Ale je to zajímavá představa, že by někdo po poslechu písničky utrousil – ale že vy jste matematik?

2. Ne. Matematika skrytá v hudbě vede spíš k diskrétním úlohám, a já jsem matematik spojitý.

3. K dělání matematiky potřebuji kontakty a impulsy, kterých by se mi na ostrově nedostávalo. Proto bych asi lépe využil hudební nástroj.

Luboš Pick (docent na KMA MFF UK; (bas)kytarista skupin Asonance a Humbuk)

1. Otázka je, co je to moje hudba. Já téměř žádnou hudbu nepíšu, skoro výhradně ji přejímám od jiných autorů. Podílím se na psaní textů a na těch to myslím vidět je. Dále se věnuji průvodnímu slovu a na tom je to, že jsem matematik, vidět až příliš (jak vám nejspíš mnozí potvrdí).

To že je člověk matematik, je dále dobře poznat na tom, jakým způsobem si hudbu ukládá do paměti, jakým způsobem improvizuje, transponuje a podobně. V tomto smyslu je hudba velice matematická disciplína.

2. Myslím, že ne (i když je pravda, že mě kdysi zajímala harmonická analýza).

3. Rozhodně dostatek tužek, papíru a pokud možno nějaké zdroje problémů. Hudba je OK, ale matematika, to je všechno. Matematika je ozdravná, je to filosofie, víra i zábava v jednom. Hudba zůstává druhá, nedá se nic dělat.

Mirko Rokyta (docent KMA MFF UK; klávesák skupin Asonance a Humbuk)

1. Nepíšu žádnou vlastní hudbu, proto se dá říci, že je na ní poznat cokoli. Na hudbě, kterou interpretuji, to doufám poznat je, tedy alespoň ve smyslu, že vždycky správně spočítám takty.

2. Upřímně řečeno, nemůžu přijít na žádný matematický jev, na kterém by se dala taková věc poznat.

3. Asi spíš tužku a papír. Píšťalku bych si vyrobit uměl, papír a tuhu asi ne.

Eszter Sikolya (asistentka na ELTE Budapest; pianistka)

1. Ne, nemyslím si. Hraju stále stejnou hudbu, kterou jsem hrála, než jsem se stala matematičkou.

2. To nemohu říct.

3. Hudební nástroj.